现在有一班飞机要起飞, 乘客正准备按机票号码$(1, 2, \cdots, N)$依次排队登机.

但是队首的人是金刚, 它随便选了一个座位坐下来了. 其余人首先检查自己的座位是否有人, 如果已经有人就同金刚一样随意入座.

那么除金刚外, 各乘客坐在自己原来位置的概率是多少?

分析与解法

对于编号为i的乘客, 若$i < n$, 则$p(n) = 1$; 若$i > n$, 则$p(n) = (1 + f(n + 1) + \cdots + f(N)) / (N - n + 1)$.

当$n = i - 1$时, $p(i - 1) = (N - i + 1) / (N - i + 2)$; 当$n = i - 2$, $p(i - 2) = p(i - 1)$.

通过归纳得出: 若$i > n$, 则$p(n) = (N - i + 1) / (N - i + 2)$.

最后求和得出概率: $\sum^{N}_{n = 1} f(n) = (N - i + 1) / (N - i + 2)$.